\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{221330100 WLQ }
\title{线性代数模型习题 }

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\begin{document}

\maketitle

%\begin{abstract}
%线性代数模型练习
%\end{abstract}

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%\setcounter{tocdepth}{2}
%\renewcommand\contentsname{目录}
%
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%\tableofcontents 
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%\section{}
\begin{enumerate}
\item  求差分方程 $x_{n+2}-x_{n+1}-2x_n=0, x_0=x_1=-2$ 的解。用不同方法求出通项，并编程验证。

\item  在某国家，每年有比例为$p$ 的农村居民移居城镇，有比例为 $q$ 的城镇居民移居农村。
假设该国总人数不变，且上述人口迁移的规律也不变。
设$n$ 年后的农村人口和城镇人口占总人口的比例分别为 $x_n$ 和 $y_n$, 则有 $x_n+y_n=1$. 
\begin{enumerate}
\item  求关系式 $\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{bmatrix}$ 中的矩阵 $A$. 
\item  设目前农村人口与城镇人口相等。求通项 $(x_n,y_n)$, 以及长期趋势。
\end{enumerate}

\item  手工计算下述两个数据向量的相关系数，并写程序计算验证。
\begin{python}
x=[3, 0, 2, 3, 0, 3, 2, 2, 4, 0]
y=[1, 0, 0, 0, 4, 3, 0, 3, 1, 0]
\end{python}

\item  手工计算下述矩阵的奇异值分解，
\begin{eqnarray*}
A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}

\item  程序计算下述矩阵的奇异值分解，
\begin{eqnarray*}
B = \begin{pmatrix} 3&2&-2&-3 \\ 2&4&-1&-5 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}


\item  **设 $F_n$ 为第 $n$ 个斐波那契数，设 $$S=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_n^2}. $$
\begin{enumerate}
\item  用 $S$ 表示 $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(F_{n+2}F_{n+1}F_n)^2}. $$
\item  用 $S$ 表示 $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(F_{n+2}F_n)^2}. $$
\end{enumerate}


\item  叙述一些常见的矩阵分解方法，包括奇异值分解、特征值分解、QR 分解、LU 分解、Cholesky 分解、Schur 分解、极分解。


\end{enumerate}

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\end{document}
